第2回：曲線要素写像を affine core と curved correction に分ける
Introduction
前回は，有限要素法で曲線領域を扱うとき，領域を多角形で近似する方法と，曲線境界を曲線として扱う方法があることを説明した．特に，単位円のような丸い領域では，直線辺だけで境界を近似すると，計算領域は厳密には円ではなく多角形になる．そのため，有限要素近似の誤差とは別に，幾何の近似誤差が入る．
今回は，exact-curved FEM の基本になる要素写像を説明する．中心となる考え方は，参照三角形から曲線要素への写像を一度に見るのではなく，次のように二段階に分けて見ることである．
\[ F_K=\Psi_K\circ\Phi_{T_K}. \]ここで，\(\Phi_{T_K}\) は参照三角形から affine core への写像であり，\(\Psi_K\) は affine core から曲線要素への写像である．この分解により，アフィンなスケーリングと曲線幾何の効果を分けて考えることができる．
三つの要素：参照三角形，affine core，曲線要素
まず，三つの要素を区別する．
- 参照三角形：\(\widehat T\)
- affine core：\(T_K\)
- 物理的な曲線要素：\(K\)
参照三角形 \(\widehat T\) は，すべての要素の出発点になる標準的な三角形である．たとえば，頂点を
\[ \widehat p_1=(0,0)^\top,\quad \widehat p_2=(1,0)^\top,\quad \widehat p_3=(0,1)^\top \]とする三角形を考える．
次に，affine core \(T_K\) を考える．これは，参照三角形 \(\widehat T\) をアフィン写像で移した直線三角形である．つまり，\(T_K\) はまだ曲がっていない三角形であり，辺はすべて直線である． ただし，細長い三角形や，向きの異なる三角形を許す．この affine core が，要素のスケール，向き，異方性を担う．
最後に，物理的な曲線要素 \(K\) を考える．これは，affine core \(T_K\) をさらに曲線写像で変形して得られる要素である．境界要素であれば，この曲線写像によって，直線辺が円弧や曲線境界に沿うように変形される．
二段階の写像
この三つの要素を，次の二段階の写像でつなぐ．
\[ \widehat T \overset{\Phi_{T_K}}{\longrightarrow} T_K \overset{\Psi_K}{\longrightarrow} K. \]まず，
\[ \Phi_{T_K}:\widehat T\to T_K \]はアフィン写像である．これは，参照三角形を拡大・縮小し，回転・反転・平行移動して，直線三角形 \(T_K\) を作る写像である．この部分が，三角形のサイズ，向き，異方性を表す．
次に，
\[ \Psi_K:T_K\to K \]は曲線補正である．これは，直線三角形 \(T_K\) を曲線要素 \(K\) へ移す写像である．境界要素では，直線辺を曲線境界へ乗せる役割をもつ．
したがって，参照三角形から物理的な曲線要素への写像は，
\[ F_K=\Psi_K\circ\Phi_{T_K}:\widehat T\to K \]となる．
三つの座標を区別する
この分解では，三つの座標を区別しておくと分かりやすい．
\[ \widehat x\in\widehat T,\quad y=\Phi_{T_K}(\widehat x)\in T_K,\quad x=F_K(\widehat x)=\Psi_K(y)\in K. \]ここで，\(\widehat x\) は参照三角形上の座標，\(y\) は affine core 上の座標，\(x\) は物理的な曲線要素上の座標である．
つまり，計算や解析では，
\[ \widehat x \longrightarrow y \longrightarrow x \]という流れを常に意識する．この区別をしておくと，どの段階で異方性が入り，どの段階で曲率が入るのかが見えやすくなる．
なぜ一つの写像として扱わないのか
もちろん，参照三角形から曲線要素への写像 \(F_K\) だけを考えることもできる．実装上は，実際に \(F_K\) が要素写像として働く．しかし，解析の観点では，\(F_K\) をそのまま一つの写像として扱うと，二つの異なる効果が混ざってしまう．
一つは，アフィンなスケーリングの効果である．これは，要素の大きさ，向き，細長さに関係する．異方性メッシュの解析では，この部分が非常に重要になる．
もう一つは，曲線幾何の効果である．これは，境界が曲がっていることや，要素写像が非アフィンであることに由来する．この効果は，\(\Psi_K\) やその導関数 \(D\Psi_K\)，\(D^2\Psi_K\) によって表れる．
したがって，
\[ F_K=\Psi_K\circ\Phi_{T_K} \]と分けておくと，
- 異方性やスケールは \(\Phi_{T_K}\) 側で見る
- 曲率や境界の曲がりは \(\Psi_K\) 側で見る
という整理ができる．この分離が，exact-curved FEM の基本的な考え方である．
要素写像の微分
要素写像は
\[ F_K=\Psi_K\circ\Phi_{T_K} \]である．したがって，連鎖律により，
\[ DF_K(\widehat x) = D\Psi_K(\Phi_{T_K}(\widehat x))\,D\Phi_{T_K} \]となる．
ここで \(\Phi_{T_K}\) はアフィン写像なので，\(D\Phi_{T_K}\) は定数行列であり，二階以上の微分は消える． そのため，曲率に関係する項は \(\Psi_K\) の高階微分から現れる．
このことは，曲線要素での補間誤差解析において非常に重要である． アフィン要素では現れない曲率項が，\(\Psi_K\) の二階微分を通じて現れるからである．
affine core とは何か
ここで使う affine core という言葉は，特別な構造をもつ新しい要素を意味しているわけではない． 単に，曲線要素 \(K\) の背後にある直線三角形 \(T_K\) を指している．
つまり，affine core は「曲げる前の三角形」である．
この affine core 上では，通常のアフィン三角形に対する補間誤差評価を使うことができる． その後，\(\Psi_K\) を通じて，その評価を曲線要素 \(K\) 上へ移す． この流れが，exact-curved FEM における補間誤差解析の基本になる．
補間誤差解析での流れ
曲線要素 \(K\) 上の関数 \(v\) を考える． この関数を affine core \(T_K\) 上に戻すために，
\[ w:=v\circ\Psi_K \]と置く． このとき，\(w\) は \(T_K\) 上の関数になる．
exact-curved Lagrange 補間作用素を \(I_L^1\)，affine core 上の通常の Lagrange 補間作用素を \(I_{T_K}^1\) と書くと，
\[ I_L^1v = \left(I_{T_K}^1w\right)\circ\Psi_K^{-1} \]である．したがって，
\[ v-I_L^1v = \left(w-I_{T_K}^1w\right)\circ\Psi_K^{-1} \]となる．
この式の意味は重要である． 曲線要素上で直接補間誤差を評価するのではなく，まず affine core 上の補間誤差を評価し，それを \(\Psi_K^{-1}\) を通じて曲線要素へ戻す． これにより，アフィン要素上の既存の補間誤差評価を利用できる．
方向微分はどう変わるか
異方性補間誤差評価では，方向微分が重要になる． affine core \(T_K\) 上での方向を \(r_i\) とする． この方向は，曲線写像 \(\Psi_K\) によって物理要素 \(K\) 上の方向へ移される．
具体的には，\(x=\Psi_K(y)\) とすると，
\[ \tau_{K,i}(x) = D\Psi_K(y)r_i = D\Psi_K(\Psi_K^{-1}(x))r_i \]と定義する． この \(\tau_{K,i}\) を，\(r_i\) に対応する transported direction と見る．
このとき，\(w=v\circ\Psi_K\) に対して，
\[ \frac{\partial w}{\partial r_i}(y) = \frac{\partial v}{\partial \tau_{K,i}}(\Psi_K(y)) \]となる． つまり，affine core 上の方向微分は，曲線要素上の transported direction に沿った方向微分として表される．
この関係により，最終的な補間誤差評価を，曲線要素 \(K\) 上の量だけで書くことができる．
二階微分と曲率項
一階微分では，主に \(D\Psi_K\) が現れる． 一方，二階微分を考えると，\(D^2\Psi_K\) が現れる． これが曲率の影響である．
たとえば，\(w=v\circ\Psi_K\) を二階微分すると，
\[ \frac{\partial^2 w}{\partial r_i\partial r_j}(y) = D^2v(\Psi_K(y)) \left[ D\Psi_K(y)r_i, D\Psi_K(y)r_j \right] + \nabla v(\Psi_K(y))\cdot D^2\Psi_K(y)[r_i,r_j] \]となる．
右辺の第一項は，\(v\) の二階微分が \(D\Psi_K\) によって変換された項である． 第二項は，\(\Psi_K\) の二階微分を含む． この第二項が，アフィン要素では消える曲線幾何特有の項である．
したがって，曲線要素の補間誤差解析では，単に \(v\) の二階微分だけでなく，曲線写像の二階微分も管理する必要がある．
実装との関係
理論では，\(\Phi_{T_K}\) と \(\Psi_K\) を明確に分けて考える． しかし，FEniCSx/Gmsh の実装では，ユーザーが常に \(\Psi_K\) を解析的に入力しているわけではない． 実装上は，Gmsh が生成した curved coordinate map が，要素写像 \(F_K\) の計算上の実現として使われる．
そのため，実装では
\[ F_K:\widehat T\to K \]が直接使われるように見える． 一方，理論では，この \(F_K\) を
\[ F_K=\Psi_K\circ\Phi_{T_K} \]と見て，affine scaling と curved correction を分けて解析する．
ここで重要なのは，実装上の coordinate map と理論上の分解を混同しないことである． 実装では \(F_K\) が quadrature や basis evaluation のために使われる． 解析では，その \(F_K\) の背後に affine core と curved correction を見て，誤差評価を整理する．
まとめ
今回は，exact-curved FEM の基本となる要素写像
\[ F_K=\Psi_K\circ\Phi_{T_K} \]の意味を説明した． この分解により，直線三角形としての affine core \(T_K\) と，曲線幾何を表す curved correction \(\Psi_K\) を分けて考えることができる．
この分け方の利点は，アフィン要素上の補間誤差評価をまず \(T_K\) 上で使い，その後 \(\Psi_K\) を通じて曲線要素 \(K\) 上へ移せることである． また，異方性の影響と曲率の影響を別々に追跡できる点も重要である．
次回は，Gmsh の geometry order について説明する． 特に，geometry order は有限要素次数ではない，という点を詳しく見る． これは，今回の数値実験を理解する上で非常に大切である．
参考文献
この第2回では，曲線要素写像の分解と補間誤差解析の基本構造を説明した． 背景となる文献として，曲線要素上の補間理論，古典的な curved finite elements，および異方性補間誤差評価に関する文献を挙げておく．
- C. Bernardi, Optimal finite-element interpolation on curved domains, SIAM Journal on Numerical Analysis, 26(5), 1212--1240, 1989.
- P. G. Ciarlet and P.-A. Raviart, Interpolation theory over curved elements, with applications to finite element methods, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1, 217--249, 1972.
- M. Zlámal, Curved elements in the finite element method. I, SIAM Journal on Numerical Analysis, 10(1), 229--240, 1973.
- M. Lenoir, Optimal isoparametric finite elements and error estimates for domains involving curved boundaries, SIAM Journal on Numerical Analysis, 23(3), 562--580, 1986.
- H. Ishizaka, K. Kobayashi and T. Tsuchiya, General theory of interpolation error estimates on anisotropic meshes, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 38(1), 163--191, 2021.
- H. Ishizaka, K. Kobayashi and T. Tsuchiya, Anisotropic interpolation error estimates using a new geometric parameter, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 40, 475--512, 2023.
- H. Ishizaka, Exact-curved Lagrange finite elements for the Poisson problem in two dimensions, submitted.
