FFEMにおけるRitz射影と点値外挿

第1回から第4回では，円周率，数値微分，数値積分，ODEを通して，外挿法の基本的な考え方を見てきました．共通していたのは，近似値そのものではなく，その背後にある誤差展開を利用するという点です．

第5回では，いよいよ有限要素法における外挿法を考えます．楕円型偏微分方程式，特に Poisson 問題に対する有限要素近似の誤差展開が扱います．ここで重要になるのは，通常の \(L^2\) 誤差や \(H^1\) 誤差ではなく，節点における点値誤差です．

典型的な Poisson 問題 \[ -\Delta u=f \quad \text{in } \Omega,\quad u=0 \quad \text{on } \partial\Omega \] を考えます．弱形式は， \[ (\nabla u,\nabla v)=(f,v) \quad v\in H_0^1(\Omega) \] です． これを一次 Lagrange 有限要素空間 \(V_h\subset H_0^1(\Omega)\) で離散化すると， 有限要素解 \(u_h\in V_h\) は \[ (\nabla u_h,\nabla v_h)=(f,v_h) \quad v_h\in V_h \] を満たします．

通常の誤差評価では， \[ \|\nabla(u-u_h)\|_{L^2}=O(h), \quad \|u-u_h\|_{L^2}=O(h^2) \] のような評価を考えます． しかし，外挿法で重要になるのは， ある節点 \(P\) における \[ u_h(P)-u(P) \] の振る舞いです．

適切なメッシュ構造と十分な正則性のもとで，節点 \(P\) において \[ u_h(P) = u(P)+h^2e(P)+O(h^4L(h)) \] のような誤差展開が得られることが説明します． ここで \(e\) は \(h\) に依存しない補正関数であり， \(L(h)\) は対数因子です．

重要なのは，単に \[ u_h(P)-u(P)=O(h^2) \] という評価があることではありません． 外挿法に必要なのは， \[ u_h(P)=u(P)+h^2e(P)+\text{より高次の項} \] という漸近展開です． \(h^2e(P)\) という主誤差項が安定して存在するからこそ， Richardson 外挿によってその項を消すことができます．

有限要素法における誤差展開を考えるとき，Ritz 射影が中心的な役割を果たします． Ritz 射影 \(R_hu\in V_h\) は， \[ (\nabla R_hu,\nabla v_h) = (\nabla u,\nabla v_h) \quad v_h\in V_h \] で定義されます． 同値に， \[ (\nabla(u-R_hu),\nabla v_h)=0 \quad v_h\in V_h \] です． この直交性を Galerkin 直交性と呼びます．

Poisson 問題で有限要素解 \(u_h\) を考えると， \[ (\nabla u_h,\nabla v_h)=(f,v_h) \] であり，連続解 \(u\) は \[ (\nabla u,\nabla v_h)=(f,v_h) \] を満たします． したがって， \[ (\nabla u_h,\nabla v_h) = (\nabla u,\nabla v_h) \] です． つまり，このモデル問題では \[ u_h=R_hu \] と見なせます．

そのため，有限要素解の点値誤差 \[ u_h(P)-u(P) \] を調べることは，Ritz 射影の点値誤差 \[ R_hu(P)-u(P) \] を調べることに対応します．

直接 \(R_hu-u\) を展開するのではなく，まず \[ R_hu-I_hu \] を調べることです．ここで \(I_hu\) は nodal interpolation です．

なぜなら，節点 \(P\) では \[ I_hu(P)=u(P) \] が成り立つからです．したがって，節点では \[ R_hu(P)-u(P) = R_hu(P)-I_hu(P) \] です．つまり，節点値誤差は \(R_hu-I_hu\) の値として見ればよいことになります．

この変形が非常に重要です． \(R_hu-I_hu\) は有限要素空間 \(V_h\) に属します． そのため，Galerkin 直交性や Ritz 射影の安定性を使って解析しやすくなります．

Galerkin 直交性から， 任意の \(\varphi_h\in V_h\) に対して \[ (\nabla(R_hu-u),\nabla\varphi_h)=0 \] です．したがって， \[ (\nabla(R_hu-I_hu),\nabla\varphi_h) = (\nabla(u-I_hu),\nabla\varphi_h) \] となります． 右辺 \[ (\nabla(u-I_hu),\nabla\varphi_h) \] は，補間誤差が作る整合誤差です．

均一な三角形分割の構造を利用して，この整合誤差が \[ (\nabla(u-I_hu),\nabla\varphi_h) = h^2(\nabla e,\nabla\varphi_h) + h^4\rho_h(u;\varphi_h) \] のように展開されます． ここで \(e\) は \(h\) に依存しない補正関数です． また，\(\rho_h\) は剰余項です．

この式は，有限要素法における外挿法の核心です． つまり，補間誤差が単に小さいだけでなく， 弱形式の中で \[ h^2(\nabla e,\nabla\varphi_h) \] という主項を持つことを示しています．

この整合誤差展開を導くために， 三角形の辺，法線方向，接線方向の微分を丁寧に追跡します． ここで均一メッシュ構造が重要になります． 隣接三角形どうしの寄与がうまく打ち消し合うため， 整合誤差の主項を安定して取り出すことができます．

整合誤差展開を用いると， \[ R_hu-I_hu \] は形式的に \[ R_hu-I_hu = h^2R_he+h^4R_hr_h(u) \] のように表されます． ここで \(R_he\) は補正関数 \(e\) の Ritz 射影であり， \(R_hr_h(u)\) は剰余項に対応する拡張 Ritz 射影です．

節点 \(P\) では \(I_hu(P)=u(P)\) なので， \[ R_hu(P)-u(P) = h^2R_he(P)+h^4R_hr_h(u)(P) \] となります． さらに，Ritz 射影の点値安定性を使うと， \[ R_he(P)=e(P)+O(h^2L(h)) \] のように考えられ，最終的に \[ R_hu(P) = u(P)+h^2e(P)+O(h^4L(h)) \] という展開が得られます．

この式が，FEMにおける Richardson 外挿の出発点です．

いま，節点 \(P\) において \[ u_h(P)=u(P)+h^2e(P)+O(h^4L(h)) \] が成り立つとします． 同じ点 \(P\) が細かいメッシュにも含まれていると仮定すると， \[ u_{h/2}(P) = u(P)+\frac{h^2}{4}e(P)+O(h^4L(h)) \] です．

この二つを \[ u_{\mathrm{ext}}(P) = \frac{4u_{h/2}(P)-u_h(P)}{3} \] と組み合わせると， \[ \begin{aligned} u_{\mathrm{ext}}(P) &= \frac{ 4\left(u(P)+\frac{h^2}{4}e(P)+O(h^4L(h))\right) - \left(u(P)+h^2e(P)+O(h^4L(h))\right) }{3} \\ &= u(P)+O(h^4L(h)). \end{aligned} \]

つまり，節点値については，もとの有限要素解が \[ O(h^2) \] の点値誤差を持つとき，外挿により \[ O(h^4L(h)) \] の精度が期待できます．

ここで大切なのは，外挿が \(L^2\) ノルムや \(H^1\) ノルムを直接改善しているわけではないことです． 議論で主役になるのは，節点 \(P\) における点値誤差展開です． したがって，外挿後に何が高精度になるのかを明確にしておく必要があります．

FEMにおける外挿法では，メッシュ構造が非常に重要です． 基本になるのは，均一な三方向メッシュや， blockwise uniform mesh のように，局所的に規則的な構造を持つ三角形分割です．

理由は，誤差展開の主項を安定して取り出すためです． 一般の不規則メッシュでは，隣接要素からの寄与がきれいに打ち消し合わず， \[ h^2e(P) \] という \(h\) に依存しない主誤差係数を持つ展開が壊れる可能性があります．

つまり，有限要素法で外挿が効くためには， 単に \(u_h\to u\) が成り立つだけでは不十分です． 次のような構造が必要になります．

• メッシュが十分に規則的であること，
• 粗いメッシュと細かいメッシュが整合していること，
• 同じ節点 \(P\) で \(u_h(P)\) と \(u_{h/2}(P)\) を比較できること，
• 誤差の主項 \(e(P)\) が \(h\) に依存せず安定して現れること．

この意味で，FEM外挿は「メッシュを細かくして二つの解を混ぜればよい」 という単純な話ではありません． 外挿が効くための幾何的条件が背後にあります．

境界や角の影響も重要な問題として扱われています． 理想的な展開 \[ R_hu(P)=u(P)+h^2e(P)+O(h^4L(h)) \] を得るには，解 \(u\) に高い正則性が必要になります． 資料中では，この結果には \(C^4\) 正則性が必要であり， 一般の多角形領域ではこれは現実的でない，という注意があります．

特に，多角形領域の角では特異性が生じやすく， 解が十分滑らかでないことがあります． その場合，外挿の次数は理想通りには上がりません． ただし，角から離れた内部節点では， より弱い正則性のもとでも漸近展開が残ることがあります． 内部節点に対する弱い形の展開が述べられています．

したがって，FEM外挿を考えるときには， 点 \(P\) が領域内部にあるのか，境界近くにあるのか，角に近いのかを区別する必要があります．

さらに，曲線境界を持つ領域では，境界近くのメッシュ構造が問題になります． 滑らかな境界を持つ領域に対して， 境界付近の要素が理想的な三方向構造からずれるため， 展開の剰余が悪くなることが説明されています． この場合，外挿公式は \[ \frac{4u_{h/2}(P)-u_h(P)}{3} = u(P)+O(h^3L(h)) \] のように，理想的な \(O(h^4)\) から落ちる場合があります．

これは非常に重要です． FEMにおける外挿法では，境界の扱いが精度に直接影響します． 特に，曲線境界を直線要素で近似するのか，曲線要素で正確に表すのか， あるいは blockwise に構造化されたメッシュを使うのかによって， 誤差展開の形が変わります．

この点は，私自身の exact-domain curved FEM の研究とも関係します． 領域近似誤差を別に持ち込むのではなく， 物理領域上で直接有限要素空間を構成できれば， 外挿法に必要な誤差展開を曲線領域上でどう回復するか， という問題を考えることができます．

• FEMにおける外挿法では，Ritz 射影の点値誤差展開が中心になる．
• Poisson 問題では，有限要素解 \(u_h\) は Ritz 射影 \(R_hu\) と見なせる．
• 節点では \(I_hu(P)=u(P)\) なので，点値誤差は \(R_hu-I_hu\) の解析に帰着される．
• 整ったメッシュでは， \[ R_hu(P)=u(P)+h^2e(P)+O(h^4L(h)) \] のような展開が得られる．
• この展開により， \[ \frac{4u_{h/2}(P)-u_h(P)}{3} \] は高精度な点値近似になる．
• ただし，メッシュ構造，境界，角の特異性，解の正則性が非常に重要である．

第5回の結論は， \[ \text{FEM外挿の本質は，Ritz 射影の点値誤差展開である} \] ということです． 外挿法は，有限要素解を二つ混ぜるだけの操作ではありません． その背後には，メッシュ構造，Galerkin 直交性，整合誤差展開，Ritz 射影の安定性がある．

次回は， defect correction を扱います． 外挿法が「二つのメッシュ解を組み合わせる方法」だとすれば， defect correction は「低次スキームの解に，高次スキームの欠陥を使って補正を入れる方法」です． どちらも，背後には誤差展開があります．

• Rolf Rannacher, Special Topics in Numerics III: Extrapolation and Defect Correction, Lecture Notes, Heidelberg University, 2017.
• Q. Lin and N. Yan, Construction and Analysis of High Efficient Finite Element Methods, Hebei University Publishers, 1996.
• M. Zlámal, On the finite element method, Numerische Mathematik, 12, 394--409, 1968.