Research

ここでは，有限要素法の基礎理論からプログラミング（C言語・Matlab・Python）までを紹介していきます．内容は順次更新します．
論文化されていないアイデアや，思いついたこと・やりたいことも含めてトピックとして取り上げます．メモとして使うこともありますし，これまでバラバラにやってきたことを整理してまとめる場にもします．
扱うのは，標準的な教科書では触れられない方法が中心です（私自身の研究が多いですが，既存研究の引用も含みます）．【発展】と付けた項目はオープン問題です．ワンオペなので，今年中に論文化できるかどうかはわかりませんが，ここに書くことで分野への貢献につなげたいと考えています．
パイオニア的な研究はライバルが少なく，論文にもまとめやすい側面があります．私は，既存の理論における「ルール」をあえて破ったとき，何が起こるのかに興味があります．そのとき，数値計算が重要な役割を果たすかもしれません．
もちろん，始めから満点を目指すとチャレンジをためらってしまうこともあります．だからこそ，簡単に数値計算で試せる環境を整備することが大切です．既存のソフトウェアでは対応できないスキームも増えてきています．
私は"使う側"ではなく"作る側"へ-“どん底に落ちた時，プログラムのひとつも書ける者が這い上がる”-そんな力を持つことが重要だと考えています．

なお，一部の記事は非公開にし，パスワードを設定することがあります．

Under construction

(24th July 2025 Update)

応用分野で生じる複雑な問題を，効率的かつ高精度に近似するための数値計算手法の開発・解析を行います．
最終的な目標は，数値計算の“自動化”です．
大きく5+1のテーマに関して研究を(現在進行形で)しています，もしくは，研究をする予定です．

1. 有限要素法における誤差解析再考(仮)
   1. 新しい視点からの補間誤差解析
   2. 異方性有限要素法-複雑な現象をより正確に計算するために
2. 時間発展問題に対する数値解の精度向上に関する研究(仮)
   1. FEMs for Fractional Calculus(仮)
3. 異常気象・災害現象の数理モデルと数値解析(仮)
   1. 気候モデルと異常気象の再現と解析(仮)
4. 精度保証付き数値計算(仮)
   1. 準正則幾何条件の下での精度保証付き数値計算(仮)
5. 有限要素計算の自動化への取り組み(仮)
   1. 有限要素計算自動化への最初の一歩(仮)
6. Implementation(仮)
   1. 有限要素法のプログラム(仮)
   2. 有限要素ソフトウェア(仮)

できるだけ早く解決したいテーマ

1. 非適合有限要素法における離散ポアンカレ・ソボレフの不等式
   • 準正則幾何条件下での解析
   • 領域の凸性の仮定をはずすこと(ポアンカレ不等式)

1. DG法における準正則幾何条件下でのミーディアス・アナリシス
   • 標準的なDG法, どのような問題があるか考えてみてください
   • [Braess] (Remark, p.111)
   • [10, Ishizaka] Introduction
   • DG法に関するノート [N1] を大幅に書き直す予定です(ミスの修正含む)

1. 多重連結領域かつ領域に角がある場合も含むときのヘルムホルツ分解

標準的な有限要素法の教科書では扱われていない方法で，補間誤差評価を導きます，
そのために，新しい幾何パラメーターを提案し，それに基づく新しい幾何条件を構築しました．
この幾何条件は，従来より多くの形状情報を引き出し，より精密な誤差評価を可能にします．
こうした理論は，必要な部分だけを細かく計算するアダプティブ有限要素法の基盤となり，効率的かつ高精度な計算手法の開発につながります．
また，この視点により，従来の誤差評価も別の形で理解できるようになりました．
今後は，初学者にもわかりやすい入門的な解説文もまとめ，研究の入り口から応用までをつなぐ形にしていきたいと考えています．
多くは論文からのトピックです．以下のPDFファイルにまとめます．当初は日本語で書く予定でしたが，Texifierが日本語対応しなくなったため英語で書きます(下手な英語で申し訳ないです)．

PDFファイル: Interpolation error analysis using a new geometric parameter
(27th April 2025 Update)

Topics:

1. 準備
2. 等方性メッシュ要素と異方性メッシュ要素
3. 古典的な幾何条件
4. 古典的な緩和された幾何条件
5. 新しい補間理論のための設定
6. 新しい準正則条件
7. 新しい準正則条件と最大角条件
8. 良い要素とは?
9. 数値計算で使う異方性メッシュ分割列の例
10. 有限要素生成
11. 新しいスケーリング アーギュメント: Part 1
12. 古典的な補間誤差評価
13. 参照要素上の異方性補間
14. 異方性補間解析に関する注意
15. 新しい補間誤差評価
16. ラグランジュ補間誤差評価
17. \( L^2 \)射影誤差評価
18. 新しい非適合有限要素補間誤差評価
19. 新しいスケーリング アーギュメント: Part 2
20. 新しいRaviart-Thomas補間誤差評価
21. 逆不等式
22. 【発展】Nédélec補間誤差評価(仮)
23. 【発展】Clément補間誤差評価(仮)
24. 【発展】Scott&Zhang補間誤差評価(仮)
25. 【発展】要素形状の多様化へ向けてのトピック(仮)
26. 【発展】空間4次元以上の補間誤差評価へ拡張できるのか(仮)
27. 【発展】多様体上の補間誤差評価(仮)

異方性メッシュとは，要素の形や大きさが方向によって異なるメッシュのことで，局所的な特異性や境界層などの複雑な構造における計算効率も上げることが可能です．
異方性メッシュにおける精密な誤差評価理論を構築し，三次元四面体に対する新しい形状条件を世界で初めて示しました．
この成果により，異方性メッシュを用いても計算結果の信頼性を保証できる理論的基盤が整いました．流体解析，熱解析，構造解析な，幅広い分野への応用が可能になるかもしれません．
今後も"より正確で，より自由度の高い数値解析"を実現するため，異方性有限要素法の可能性を追求していきます．
現在，多くの有限要素法が開発されていますが，ここでは比較的古典的なものも扱います．
多くは論文からのトピックです．以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル: Reconsidered error analysis for finite element methods
(27th April 2025 Update)

Part1: 連続問題
Topics:

1. 抽象問題の適切性(仮)
2. Poisson方程式(仮)
3. 拡散移流方程式(仮)
4. Stokes方程式(仮)
5. Navier-Stokes方程式(仮)
6. 重調和方程式(仮)
7. 【発展】Cahn–Hilliard方程式(仮)
8. 【発展】Maxwell方程式(仮)
9. 【発展】プリミティブ方程式(仮)

1. メッシュ, メッシュフェイス, 平均, ジャンプ
2. 有限要素空間
3. 補間誤差評価

1. Poisson方程式のLagrange有限要素誤差評価(仮)
2. (仮)

1. 離散ソボレフ・ポアンカレ不等式と未解決問題(仮)
2. トレース不等式(仮)
3. Poisson方程式に対する古典的な誤差評価(仮)
4. CR有限要素とRT有限要素の間の関係(仮)
5. Poisson方程式に対するCR有限要素法(仮)
6. ある同等性(仮)
7. Poisson方程式に対する不連続有限要素法(仮)
8. Poisson方程式に対するハイブリッド不連続有限要素法(仮)
9. Poisson方程式に対するニッチェ法(仮)
10. 【発展】拡散移流方程式に対する誤差解析(仮)
11. 【発展】安定化有限要素法(仮)
12. Morley有限要素とRT有限要素の間の関係(仮)
13. 重調和方程式に対するMorley有限要素法(仮)
14. 非適合有限要素法における思いがけない誤差の混入 その1(仮)
15. Arnord&Brezziの論文の紹介(仮)
16. 【発展】重調和方程式に対する不連続有限要素法(仮)
17. 【発展】重調和方程式に対するハイブリッド不連続有限要素法(仮)
18. 【発展】重調和方程式に対するニッチェ法(仮)

1. 非適合Fortin作用素とInf-sup条件(仮)
2. 非適合有限要素法における思いがけない誤差の混入 その2(仮)
3. ヘルムホルツ分解と圧力強靭化法(仮)
4. Stokes方程式に対するニッチェ法(仮)
5. 定常Navier-Stokes方程式に対する圧力強靭化法(仮)
6. 未解決問題(仮)

多くは論文からのトピックです．以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Part 1: 連続問題
Topics:

1. Interface problems(仮)
2. Two-phase flow problems(仮)

2. 【発展】メッシュ分割を利用した精度向上における課題(仮)

多くは論文からのトピックです．以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Part 1: 連続問題
Topics:

2. 【発展】異方性Navier-Stokes方程式(仮)

3. 時間遅れを持つ熱輸送偏微分方程式(仮)
4. Non-Fourier heat transfer equation(仮)

多くは論文からのトピックです．以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Part : 異方性メッシュ上での誤差解析(仮)
Topics:

1. (仮)

多くは論文からのトピックです．以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Part : 異方性メッシュ上での誤差解析(仮)
Topics:

1. (仮)

非局所性・メモリー効果を持つ数理モデル
多くは論文からのトピックです．以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Part 1: 連続問題
Topics:

1. Fractional Navier-Stokes Equations(仮)
2. Fractional Rayleigh-Stokes Equations(仮)
3. Fractional Fokker-Planck Equations(仮)
4. Fractional Schrödinger Equations(仮)

1. Fractional Navier-Stokes Equations(仮)
2. Fractional Rayleigh-Stokes Equations(仮)

多くは論文からのトピックです．以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Part : (仮)
Topics:

1. (仮)

多くは論文からのトピックです．以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Part : (仮)
Topics:

1. (仮)

多くは論文からのトピックです．以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Part : (仮)
Topics:

1. マルチスケール法(仮)

多くは論文からのトピックです．以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Part : 異方性メッシュ上での精度保証(仮)
Topics:

1. (仮)

こういう問題を解きたいといくつかの情報を与えれば可視化される　そのような未来が実現されるだろうか？
個人的な意見ですが，過去から現在の時間の流れの中で行われてきたことは，上のような未来のための準備だと考えます．
ここでは有限要素法に限定します．
どんな未来にも最初の一歩があります．有限要素法2.0 創造を楽しみます．
【補足】しかしながら，伝統的な数値解析(安定性と収束性)(有限要素法1.0)は今もそしてこれからも重要です． 理由は，数値計算する前に全てのリスクを取り除かなければならないからです．また，実際の現象を有限要素スキームで表現できているかも重要であるし， 計算時間がかからない精度が良い近似解を得る手法の開発も必要です．そして偏微分方程式の解の性質を調べることも必要です．
以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Part 1: Accuracy verification methods
Topics:

1. 【発展】誤差コントロールと事後評価(仮)
2. 【発展】アダプティブ有限要素法の限界?(仮)
3. 【発展】Hypercircle method(仮)
4. 【発展】新アダプティブ有限要素法(仮)
5. 【発展】その他のメッシュ分割を利用した有限要素解の精度向上(仮)
6. 【発展】特異点解や境界層が現れる偏微分方程式への応用(仮)
7. 【発展】\( L^{\infty} \)評価(仮)

以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Part 1: 有限要素法
Topics:

1. 【発展】事後評価(仮)

有限要素法のプログラムは菊地先生の有限要素法概説で学び始めました．
現代風に基礎から発展まで書いていきたいですね.
将来的には，自動で必要なプログラムコードが作成されるかもしれない．

以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Topics:

1. 1
2. 2
3. 3

The official website of FreeFEM
以下のPDFファイルにまとめます．

PDFファイル:
(th 2025 Update)

Topics:

1. FreeFEM(仮)
2. Netgen/NGSolve(仮)
3. 3